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河南快三和走势图_2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修_数学_高中教育_教育专区

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河南快三和走势图_2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 椭圆及其标准方程 1.已知椭圆 + =1 的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( D ) (A) + =1 (B) + =1 (C)x2+ =1 (D) + =1 解析:由题意知,椭圆焦


2.2.1 椭圆及其标准方程 1.已知椭圆 + =1 的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( D ) (A) + =1 (B) + =1 (C)x2+ =1 (D) + =1 解析:由题意知,椭圆焦点在 x 轴上,且 c=2,所以 a2=2+4=6, 因此椭圆方程为 + =1,故选 D. 2.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 是椭圆上的点,则△PF1F2 的周长是( B ) (A)16 (B)18 (C)20 (D)不确定 解析:由方程 + =1 知 a=5,b=3, 所以 c=4, 所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8, 所以△PF1F2 的周长为 18.故选 B. 3.命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆. 则命题甲是命题乙的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 解析:利用椭圆定义.若 P 点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当 2a>|AB|时,P 点轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P 点轨迹是线段 AB;当 2a<|AB| 时,P 点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件.故选 B. 4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P( ,-4)和 Q(- ,3),则此椭圆的方程是( A ) (A) +x2=1 (B) +y2=1 (C) +y2=1 或 x2+ =1(D)以上都不对 解析:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 则 解得 所以椭圆方程为 x2+ =1.故选 A. 5.已知 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点.若|F2A|+|F2B|=30, 则|AB|等于( C ) (A)16 (B)18 (C)22 (D)20 解析:由椭圆的定义得 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52, 又|F2A|+|F2B|=30,所以|AB|+30=52, 所以|AB|=22.故选 C. 6.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动 点 Q 的轨迹是( A ) (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)无法确定 解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a 为大于零的常数,且 2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a. 所以动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.故 选 A. 7.已知椭圆 x2sin α -y2cos α =1(0≤α <2π )的焦点在 y 轴上,则α 的取值范围是( D ) (A)( π ,π ) (B)( , π ) (C)( ,π ) (D)( , π ) 解析:椭圆 x2sin α -y2cos α =1(0≤α <2π )化为标准方程, 得+ =1, 因为它的焦点在 y 轴上, 所以 所以 0<-cos α <sin α ,因为 0≤α <2π , 所以 <α < .故选 D. 8.已知 P 是椭圆 + =1(0<n<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若| + 到该椭圆左焦点的距离为( C ) |=8,则点 P (A)6 (B)4 (C)2 (D) 解析:设椭圆右焦点是 F2,PF1 的中点为 N, 则 + =2 ,所以| + |=2| |=8, 所以| |=4, 又 O 为 F1F2 中点, 所以 ON 为△PF1F2 的中位线, 所以|PF2|=2| |=8, 由方程可知 a=5, 所以|PF1|=2a-|PF2|=2×5-8=2.故选 C. 9.椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 7,则点 P 到右焦点的距离为 . 解析:根据椭圆的定义 |PF1|+|PF2|=2a,所以 7+|PF2|=20, 解得|PF2|=20-7=13. 答案:13 10.椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点 P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积最大为 12,则椭圆方程 为 . 解析: 如图,当 P 在 y 轴上时△PF1F2 的面积最大,所以 ×8b=12,所以 b=3. 又因为 c=4,所以 a2=b2+c2=25. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 答案: + =1 11.已知椭圆 + =1 的上、下两个焦点分别为 F1,F2,点 P 为该椭圆上一点,若|PF1|,|PF2|为方 程 x2+2mx+5=0 的两根,则 m= . 解析:由已知|PF1|+|PF2|=2a=6. 又因为|PF1|,|PF2|为方程 x2+2mx+5=0 的两根, 所以|PF1|+|PF2|=-2m, 所以 m=-3. 经检验,m=-3 满足题意. 答案:-3 12.若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点为(0,-4),则 k 的值为 . 解析:易知 k≠0,方程 2kx2+ky2=1 变形为 + =1,所以 - =16,解得 k= . 答案: 13.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 + =1 (a>b>0).将点(5,0)代入上 式解得 a=5,又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为 + =1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 + =1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2) 和(1,0),所以 ? 故椭圆的标准方程为 +x2=1. 14. 如 图 , 已 知 点 P(3,4) 是 椭 圆 + =1(a>b>0) 上 一 点 ,F1,F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 若 · =0. (1)求椭圆的方程; (2)求△PF1F2 的面积. 解:(1)因为 · =0, 所以 PF1⊥PF2, 所以△PF1F2 是直角三角形, 所以|OP|= |F1F2|=c. 又|OP|= =5, 所以 c=5. 所以椭圆方程为 + =1. 又 P(3,4)在椭圆上, 所以 + =1, 所以 a2=45 或 a2=5. 又 a>c,所以 a2=5 舍去. 故所求椭圆方程为 + =1. (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 ,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,② 由①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80, 所以 = |PF1|·|PF2|= ×40=20. 15.P 是椭圆 +y2=1 上的点,F1,F2 是椭圆的两个焦点. (1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2 的面积; (2)当∠F1PF2 为钝角时,求点 P 横坐标的取值范围. 解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,① 且 F1(- ,0),F2( ,0). 在△F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.② 由①②得|PF1||PF2|= . 所以 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2= . (2)设点 P(x,y),由已知∠F1PF2 为钝角, 得 · <0,所以(x+ ,y)·(x- ,y)<0, 又 y2=1- , 所以 x2<2, 解得- <x< , 所以点 P 横坐标的取值范围是(- , ). 16.设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分 线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( D ) (A) - =1 (B) + =1 (C) - =1 (D) + =1 解析:由圆的方程可知,圆心 C(-1,0),半径等于 5,设点 M 的坐标为(x,y),因为 AQ 的垂直平分 线交 CQ 于 M, 所以|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,所以|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点 M 的轨迹是 以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=5,c=1,所以 b= , 故椭圆方程为 + =1,即 + =1.故选 D. 17.已知椭圆 C: + =1,M,N 是坐标平面内的两点,且 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点 的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|等于( B ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 解析:设 MN 的中点为 D,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1,F2,如图,连接 DF1,DF2,因为 F1 是 MA 的中 点,D 是 MN 的中点,所以 F1D 是△MAN 的中位线,则|DF1|= |AN|,同理|DF2|= |BN|,所以 |AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为 D 在椭圆上,所以根据椭圆的定义知 |DF1|+|DF2|=4,所以 |AN|+|BN|=8.故选 B. 18.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则 |PM|+|PN|的最小值为 . 解析:由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的 最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答案:7 19.若椭圆 C1: + =1(a1>b1>0)和椭圆 C2: + =1(a2>b2>0)的焦点相同且 a1>a2,给出如下五个 结论: ①椭圆 C1 与椭圆 C2 一定没有公共点;② > ;③ - = - ;④a1-a2<b1-b2;⑤椭圆 C1 比椭圆 C2 更“圆”.其中正确的序号为 . 解析: 序号 理由 ① 因为焦点相同且 a1>a2,所以 b1>b2,所以两个椭圆无公共点 ② -= = ③ 由焦点相同知, - = - ,即 - = - <0,所以 < ④ 由③得 = <1,所以 a1-a2<b1-b2 ⑤ 由④知,纵向相差比横向大,故 C1 比 C2 更“圆” 答案:①③④⑤ 正误 √ × √ √ √ 20.已知动圆 M 和定圆 C1:x2+(y-3)2=64 相内切,并且外切于定圆 C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解:设动圆 M 的半径为 r,圆心 M(x,y),两定圆圆心 C1(0,3),C2(0,-3),半径 r1=8,r2=2.则 |MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)= 10. 又 |C1C2|=6, 则 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 是 椭 圆 , 设 其 方 程 为 + =1 (a>b>0), 且 焦 点 为 C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即 a=5,c=3,则 b2=a2-c2 =25-9=16.所以动圆圆心 M 的轨迹方程是 + =1.
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文档贡献者

阿雅童鞋

计算机信息高新技术办公软件操作员

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